刘娜有多少人

简介：
《刘娜有多少人》是一道素有名气的数学难题。

它主要涉及到排列组合和递推公式的运用，是许多高中生和大学生竞赛中经常遇到的难题之一。

内容导航：
一、题目背景
二、问题描述
三、解题过程
1. 排列组合的基础知识
2. 推导递推公式
3. 利用递推公式求解问题
四、总结问题描述：
问题描述：刘娜有许多朋友，每个朋友都要送她一份生日礼物。

现在她想知道一共会有多少个礼物。

但是刘娜告诉你，她共有n个朋友，由于有些朋友之间关系较“微妙”，因此不是每个人都会给她送礼物。

条件是，每个参加生日聚会的人，必须要送一份礼物且不重复。

询问你，在n个朋友中，有多少人会给刘娜送礼物。

解题过程：
1.排列组合的基础知识
　　对于排列组合的基础知识，这里就不再详细赘述了，简单地回顾一下：
　　在n个元素中取出k个元素的不同排列的个数为P(n,k)；
　　在n个元素中取出k个元素的不同组合的个数为C(n,k)。

2.推导递推公式
　　设f(n)表示n个人中会送礼物给刘娜的人数。

　　当n=1时，f(1) = 1，即唯一一个人会送礼物。

　　当n=2时，考虑第一个人是否送礼物。

如果送礼物，则第二个人就不需要送，此时只有一种可能，即1人送礼物；如果不送礼物，则第二个人必须送，此时也只有一种可能，即2人都会送礼物。

因此，f(2) = 2。

　　同理，当n=3时，可以分为两类：第一个人送或不送。

如果送礼物，则第二个人和第三个人都不送礼物的情况只有1种可能；如果不送礼物，分为两种情况：第二个人送或不送。

如果第二个人送礼物，则第三个人只能不送礼物，此时只有1种可能；如果第二个人不送礼物，则第三个人必须送礼物，此时仍只有1种可能。

因此，f(3) = 3。

　　结合上述三种情况，我们可以得到一个递推公式：当n>2时，f(n) = f(n-1) + f(n-2)。

　　至于为什么递推公式成立，可以这样解释：第n个朋友可以决定是否送礼物，如果送，则剩下的n-1个朋友中只有f(n-1)个朋友会送礼物；如果不送，则剩下的n-1个朋友必须都送礼物，此时只有f(n-2)种可能。

3.利用递推公式求解问题
　　根据上述递推公式，我们可以很方便地进行计算。

以n=4为例，有f(1)=1，f(2)=2，f(3)=3，f(4)=f(3)+f(2)=5。

因此，在4个朋友中会有5个人送礼物给刘娜。

　　同理，当n=5时，有f(5) = f(4) + f(3) = 8；当n=6时，有f(6) = f(5) + f(4) = 13，以此类推。

总结：
　　通过上述解题过程，我们可以看出，利用排列组合和递推公式得出答案的方法在许多数学竞赛中都会被广泛运用到。

通过这一方法，我们可以更深刻地理解排列组合和递归的本质原理，提高数学思维的灵活性和创造性。

当然，具体的难度还取决于具体题目的难度和要求，需要大家在实践中加以体验和探索。